この記事の動画解説版はこちら→統計チャンネル
確率変数の平均 $\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$を標本平均という．標本平均 $\displaystyle \overline{X}$ について，以下の大数の法則が成り立つことが知られている．
$X_1, X_2, \cdots, X_n$が互いに独立で，平均$\mu$，分散$\sigma^2$の同一の確率分布に従うとする．このとき，任意の$\varepsilon>0$に対して，\( \displaystyle \lim_{n\to\infty}P(|\overline{X}-\mu|<\varepsilon)=1 \)
この法則により，標本平均 $\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$は$n$を大きくするとき，実現値は期待値$\mu$に近い値をとることが期待できる．
標本平均 $\displaystyle \overline{X}$ の分布について，以下の中心極限定理が成り立つことが知られている．
$X_1, X_2, \cdots, X_n$は互いに独立で，平均$\mu$，分散$\sigma^2$の同一の確率分布に従うとする．もとの分布に関わらず，その標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$は$n$が大きいとき，近似的に正規分布$\displaystyle \mbox{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$に従う．標準化すれば，近似的に$\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim \mbox{N}(0,1)$ となる．
中心極限定理を用いて，次の確率を求めてみよう．
(例)サイコロを100個投げるとき，その平均が$4$以上となる確率を求めよ．
サイコロ1個を投げるときの出る目を$X$とすると，
$\displaystyle \mu=E(X)=1\cdot \frac16+2\cdot\frac16+\cdots+6\cdot \frac16=\frac72$
$\sigma^2=V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$
$\displaystyle \hspace{7mm}=1^2\cdot\frac16+2^2\cdot \frac16+\cdots+6^2\cdot\frac16-\left(\frac72\right)^2$
$\displaystyle \hspace{7mm}=\frac{35}{12}$
(上の計算は記事17,18でも行なっている)
サイコロを100回投げるため，上の分布に従う独立な確率変数$X_1, X_2, \cdots , X_{100}$を考える．中心極限定理により，近似的に
$\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}X_i\sim \mbox{N}\left(\frac72, \frac{35/12}{100}\right)$
標準化して
$\displaystyle \frac{\overline{X}-\frac72}{\sqrt{\frac{35/12}{100}}}\sim \mbox{N}(0,1)$
よって求める確率は
$\displaystyle P(\overline{X}\geqq 4)$
$=P\left(\frac{\overline{X}-\frac{7}{2}}{\sqrt{\frac{35/12}{100}}}\geqq \frac{4-\frac{7}{2}}{\sqrt{\frac{35/12}{100}}}=2.927\cdots \right)$
$\fallingdotseq 0.0017(0.17\%)$
ただし最後の確率は標準正規分布の上側確率の数値表から求めた．
この範囲のテキスト試読はこちら
本ブログ・解説動画に対応した資料です(note)
この記事の動画解説版はこちら↓
| 前の記事へ戻る 29 正規分布の標準化 |
次の記事へ 31 二項分布の正規分布近似 |
| 記事一覧へ戻る 統計学の基礎シリーズ 目次 |
|