二項分布の正規分布近似

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$X$は試行回数$n$，成功確率$p$の二項分布に従うとする($\displaystyle X\sim \mbox{B}(n,p)$)．このとき，互いに独立に成功確率$p$のベルヌーイ分布に従う確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$を用いて

　$\displaystyle X=X_1+X_2+\cdots+X_n$

と表されるから，$X$を$n$で割った確率変数

　$\displaystyle \frac{X}{n}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$

は$\mbox{Be})(p)$に従う$n$個の確率変数の標本平均とみなせる．よって中心極限定理により，近似的に

　$\displaystyle \frac{X}{n}\sim\mbox{N}\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$ 

となる(ここで$\mbox{Be}(p)$の平均が$p$，分散が$p(1-p)$であることを用いている)．すなわち，

　$\displaystyle X\sim \mbox{N}\left(np, np(1-p)\right)$ 

が成り立つ(確率変数を$n$倍したので，平均は$n$倍，分散は$n^2$倍となっている)．

一つ例を計算してみよう．上の結果を当てはめるのではなく，もういちど上の結果を導き出すように計算する．

(例)ある試験は問題が全部で50問あり，各問題は○か×の2つの選択肢からなる．ある受験生が各問題ごとにランダムに解答するとき，30問以上正答する確率を求めよ．

(補足)上解答はいったん正答数$X$の従う分布を求めて計算したが，以下のように正答比率$\overline{X}$の分布からそのまま計算することもできる(分母分子を割っただけで本質的に同じ計算．※スマホでは横スクロールします)

により

　$\displaystyle \frac{\overline{X}-\frac12}{\sqrt{1/200}}\sim\mbox{N}\left(0,1\right)$

$30/50$以上の比率で正答する確率を求めればよいから，

$\displaystyle P(\overline{X}\geqq \frac{30}{50})$
　　$\displaystyle =P\left(\frac{\overline{X}-\frac12}{\sqrt{1/200}}\geqq \frac{\frac{30}{50}-\frac12}{\sqrt{1/200}}\fallingdotseq1.41\right)$
　　$\displaystyle =0.0793\ (7.93\%)$

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