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不偏性と一致性
母数$\theta$を推定するために標本$X_1,X_2,\cdots X_n$から作られる推定量$T=T(X_1, X_2, \cdots , X_n)$について，理想的な性質として次のようなものがあげられる．
一致性…任意の$\varepsilon>0$に対して，$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}P\left(|T-\theta|<\varepsilon\right)=1$
不偏性…$E(T)=\theta$
標本平均$\overline{X}$は$\mu$の一致推定量(大数の法則)，かつ不偏推定量である(ただし，一致性については母分散$\sigma^2$が存在していることが前提)．
また，母分散$\sigma^2$の推定量として，標本分散$ \displaystyle S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$が思いつくが，\( \displaystyle E(S^2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2\)となることが知られており，不偏性をもつ推定量とならない．そこで，$\sigma^2$の推定量としては通常
不偏分散$ \displaystyle U^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$
が用いられる(標本不偏分散とも)．
標準誤差
推定量$T$について，$V(T)$の推定量の平方根を標準誤差という．標準誤差は推定量のばらつきを表す．
(例)標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$について，\( \displaystyle V(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n} \)となる．よって$\displaystyle \overline{X}$の標準誤差は$ \displaystyle \frac{u^2}{n}$の平方根，すなわち\( \displaystyle \sqrt{\frac{u^2}{n}} \)となる．
分散が有限で独立に同一分布に従う確率変数$X_1, X_2, \cdots, X_n$から作られる推定量について，次の中から正しいものをすべて選べ．
①標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$は母平均$\mu$の一致推定量かつ不偏推定量である．
②最初の2つの確率変数の平均$\displaystyle \frac{X_1+X_2}{2}$は母平均$\mu$の不偏推定量である．
③$ \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$は母分散$\ \sigma^2$の不偏推定量である．
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