大数の法則と中心極限定理

この記事の動画解説版はこちら→統計チャンネル

確率変数の平均 $\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$を標本平均という.標本平均  $\displaystyle \overline{X}$ について,以下の大数の法則が成り立つことが知られている.

大数の法則

$X_1, X_2, \cdots, X_n$が互いに独立で,平均$\mu$,分散$\sigma^2$の同一の確率分布に従うとする.このとき,任意の$\varepsilon>0$に対して,\( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}P(|\overline{X}-\mu|<\varepsilon)=1 \)

この法則により,標本平均 $\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$は$n$を大きくするとき,実現値は期待値$\mu$に近い値をとることが期待できる.

標本平均 $\displaystyle \overline{X}$ の分布について,以下の中心極限定理が成り立つことが知られている.

中心極限定理

$X_1, X_2, \cdots, X_n$は互いに独立で,平均$\mu$,分散$\sigma^2$の同一の確率分布に従うとする.もとの分布に関わらず,その標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$は$n$が大きいとき,近似的に正規分布$\displaystyle  \mbox{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$に従う.標準化すれば,近似的に$\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim \mbox{N}(0,1)$ となる.

中心極限定理を用いて,次の確率を求めてみよう.

(例)サイコロを100個投げるとき,その平均が$4$以上となる確率を求めよ.

サイコロ1個を投げるときの出る目を$X$とすると,

$\displaystyle \mu=E(X)=1\cdot \frac16+2\cdot\frac16+\cdots+6\cdot \frac16=\frac72$

$\sigma^2=V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$
$\displaystyle \hspace{7mm}=1^2\cdot\frac16+2^2\cdot \frac16+\cdots+6^2\cdot\frac16-\left(\frac72\right)^2$
$\displaystyle \hspace{7mm}=\frac{35}{12}$

(上の計算は記事17,18でも行なっている)

サイコロを100回投げるため,上の分布に従う独立な確率変数$X_1, X_2, \cdots , X_{100}$を考える.中心極限定理により,近似的に

 $\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}X_i\sim \mbox{N}\left(\frac72, \frac{35/12}{100}\right)$

標準化して

 $\displaystyle \frac{\overline{X}-\frac72}{\sqrt{\frac{35/12}{100}}}\sim \mbox{N}(0,1)$

よって求める確率は

 $\displaystyle P(\overline{X}\geqq 4)$
  $=P\left(\frac{\overline{X}-\frac{7}{2}}{\sqrt{\frac{35/12}{100}}}\geqq \frac{4-\frac{7}{2}}{\sqrt{\frac{35/12}{100}}}=2.927\cdots \right)$
  $\fallingdotseq 0.0017(0.17\%)$

ただし最後の確率は標準正規分布の上側確率の数値表から求めた.

この範囲のテキスト試読はこちら

統計学の基礎テキスト

お手元にテキスト(資料)があると学習時により便利です.是非ご利用ください!
・「統計学の基礎」のテキスト一式PDFデータ(記述統計編/確率分布編/推測統計編+付録編)の一括ダウンロード
・問題解答つき

テキスト一式は→こちら(note)

この記事の動画解説版はこちら↓

次の記事はこちら
31 二項分布の正規分布近似

記事一覧はこちら
統計ブログ(トップページ)