正規分布

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確率密度関数が以下で与えられる分布を正規分布といい,$\mbox{N}(\mu, \sigma^2)$と表す.ただし,$e=2.71828\cdots$はネイピア数である.

 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  ($\mu$は定数,$\sigma$は正の定数)

$X\sim \mbox{N}(\mu, \sigma^2)$のとき,$E(X)=\mu, V(X)=\sigma^2$となる.

正規分布の特徴として,以下の(1)-(3)が挙げられる.

(1) 直線$x=\mu$を中心に左右対称
(2) $x=\mu\pm \sigma$が変曲点(凹凸が変わる)
(3) $\sigma$が大きくなると下につぶれる(横に広がる)

正規分布において,$\mu$から$\pm \sigma$,$\pm 2\sigma$,$\pm 3\sigma$の範囲の確率はそれぞれ次のようになる.これらの結果は今後よく使うので覚えておくとよい.

 $P(\,\mu-\, \sigma\leqq X\leqq \,\mu+\, \sigma)\, \fallingdotseq 0.683$
 $P(\mu-2\sigma\leqq X\leqq \mu+2\sigma)\fallingdotseq 0.954$
 $P(\mu-3\sigma\leqq X\leqq \mu+3\sigma)\fallingdotseq 0.997$

次のグラフ①〜④のうち,$\mbox{N}(1,0.5^2)$の分布を表すものとして最も適切なものを1つ選べ.

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