連続型確率変数の平均や分散

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連続型確率変数$X$の確率密度関数を$f(x)$とする．離散型確率変数の場合と同様な形で期待値や分散を定義する．計算にはシグマではなく積分を使う．

　\( \displaystyle\begin{eqnarray} E(X) &=&\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx(=\mu)\\ V(X)&=&\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx \end{eqnarray}\)  

連続型確率変数に対しても，離散型の場合と同様に，次の分散公式が成り立つことが知られている．

　\( \displaystyle  V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \)

この公式以外にも，記事21で扱ったような確率変数に関する公式は連続型の場合も成り立つことが知られている．

問

確率変数$X$の密度関数$f(x)$が次のように与えられている．

$f(x)=\begin{cases} 2(1-x)\ &(0\leqq x\leqq 1)\\0 &(\mbox{それ以外})\end{cases}$

(1) $E(X)$を求めよ．(2) $V(X)$を求めよ．

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解

(1)$\displaystyle  E(X)=\int_{0}^{1}xf(x)dx=\int_{0}^{1}2(x-x^2)dx$
$\displaystyle  \hspace{10mm}=2\left(\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}\right)$
$\displaystyle  \hspace{10mm}=2\left(\frac12-\frac13\right)=\frac13$

(2)$\displaystyle  E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2f(x)dx$
$\displaystyle  \hspace{10mm}=\int_{0}^{1}2(x^2-x^3)dx$
$\displaystyle  \hspace{10mm}=2\left(\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}\right)$
$\displaystyle  \hspace{10mm}=2\left(\frac13-\frac14\right)=\frac16$
$\displaystyle  V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$
$\displaystyle  \hspace{10mm}=\frac16-\left(\frac13\right)^2=\frac{1}{18}$

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