確率変数の和の期待値と分散

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確率変数$X,Y$の和の分散は次のように計算できる.

\( \displaystyle\begin{eqnarray} \hspace{2mm}V(X& &\hspace{-6mm} +Y)\\ &=&E\left\{((X+Y)-(\mu_X+\mu_Y))^2\right\}\\ &=&E((X\!-\!\mu_X)^2\!+\!(Y\!-\!\mu_Y)^2\!+\!2(X\!-\!\mu_X)(Y\!-\!\mu_Y)) \\&=&V(X)+V(Y)+2E((X-\mu_{X})(Y-\mu_Y)) \cdots \mbox{①} \end{eqnarray}\)

最終式に出てくる量$E((X-\mu_{X})(Y-\mu_Y))$を$X,Y$の共分散といい,$\mbox{Cov}(X,Y)$と表す.

 $\displaystyle  \mbox{Cov}(X,Y)=E((X-\mu_{X})(Y-\mu_Y))$

共分散を$X,Y$の標準偏差でわったものを相関係数といい,$r_{XY}$と表す.

 $\displaystyle r_{XY}=\frac{\mbox{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}$

共分散は次のようにも変形できる.

\( \displaystyle\begin{eqnarray} \mbox{Cov}&&\hspace{-6mm}(X,Y)\\&=&E((X-\mu_x)(Y-\mu_Y))\\&=&E(XY-\mu_XY-\mu_YX+\mu_X\mu_Y)\\ &=&E(XY)-\mu_x\mu_y-\mu_Y\mu_X+\mu_X\mu_Y\\ &=&E(XY)-E(X)E(Y)\cdots \mbox{②} \end{eqnarray}\)  

$X,Y $が独立のとき$E(XY)=E(X)E(Y)$が成り立つから,②により,

 $\mbox{Cov}(X,Y)=0$

となる.すなわち,$X,Y$が独立のとき,①により

 $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

記事17から21までに登場した確率変数に関する公式は以下のようにまとめられる.

確率変数の公式

平均について

 $E(aX+b)=aE(X)+b$

 $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$

分散について

 $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2(=E(X^2)-\mu^2$

 $V(aX+b)=a^2V(X)$

 $V(aX+bY+c)$

  $=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\mbox{Cov}(X,Y)$

$X,Y$が独立(あるいは$\mbox{Cov}(X,Y)=0$)のとき

 $E(XY)=E(X)E(Y)$

 $V(aX+bY+c)=a^2V(X)+b^2V(Y)$

$X_1, X_2,X_3$は互いに独立で,それぞれ平均$\mu$,分散$\sigma^2$の同一分布に従うものとする.

  $\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$

とおくとき,$\overline{X}$の平均と分散を求めよ.

解答はこちら

 \( \displaystyle\begin{eqnarray} E(\overline{X})&=&\frac{1}{3}(E(X_1)+E(X_2)+E(E_{3}))\\ &=&=\frac{3\cdot \mu}{3}=\mu \end{eqnarray}\)  

また,$X_1,X_2,X_3$は互いに独立であるから,分散は次のように計算ができる.

 \( \displaystyle\begin{eqnarray}V(\overline{X})&=&\frac{1}{3^2}(V(X_1)+V(X_2)+V(X_3))\\ &=&=\frac{3\cdot \sigma^2}{3^2}=\frac{\sigma^2}{3} \end{eqnarray}\)  

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