条件付き確率

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事象Aが起こるという条件のもとで事象Bの起こる確率を条件付き確率といい,$P(B|A)$と表す.条件付き確率は次のようにも計算される(確率の乗法定理という.ただし,$P(A)\not= 0$とする).

$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

事象Aと事象Bが独立であるとは,一方の事象が起こるかどうかが他方の事象の起こる確率に影響を与えないこと,式でかけば

$$P(B|A)=P(B), P(A|B)=P(A)$$

ということである.これは確率の乗法定理により,次のようにも言い換えられる(こちらの定義は確率$0$の事象にも適用できる).

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

一つ計算問題を扱う.

(例)ある事象$A,B$について,次が成り立つとする.
$$P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A\cup B)=0.5$$
(1) 条件付き確率$P(B|A)$を求めよ.
(2) 事象$A$と$B$は独立か.
(3) 事象$A$と$B$は排反か.

(解)(1) 一般に $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$が成立するから,与えらえれた条件により$0.5=0.3+0.4-P(A\cap B)$,すなわち$P(A\cap B)=0.2$.よって求める確率は
$$P(B|A)= \frac{P(A\cap B)}{P(A)}= \frac{0.2}{0.3}= \frac23$$(2) $P(B)\not=P(B|A)$であるから$A,B$は独立ではない.
(3)  $P(A\cap B)=0.2(\not=0)$ により $P(A\cup B)\not=P(A)+P(B)$ であるから $ A,B $ は排反ではない.

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