中央値，最頻値

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観測値を小さい順にならべたとき，ちょうど真ん中に位置する値を中央値という．観測値が偶数個のときは，中央の2値の平均を中央値とする．

また，最も観測された観測値を最頻値またはモードという．度数分布表が与えられたときは，度数が最も大きい階級の階級値を最頻値とする(度数分布表の場合，度数が最も大きい階級の階級自体を最頻階級とするなど，最頻値に関しては定義の仕方が色々ある)

(例)5軒のラーメン店について，主力ラーメンの値段(円)

500, 500, 500, 500, 2000

平均は800，中央値は500，最頻値は500となる．

上の例のように，観測値の中に極端に大きな値または極端に小さな値(外れ値)があるとき，平均はその影響を受けやすいが、中央値や最頻値は影響を受けにくい傾向がある．

問

次のデータの平均は$5.5$，最頻値は$4$である．中央値を求めよ．

$4, 8, 8, x, y, z\ (x\leqq y\leqq z)$

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解

$4.5$

(解説)$4$が最頻値であるから，$x,y,z$のうち少なくとも$2$つは$4$である．$3$つとも$4$であるとすると，データの平均が$(4\cdot 4+8\cdot2)/6=5.3\cdots$となって仮定に反するから$x,y=4, z\not=4$である．ここで平均が$5.5$であることから$(4\cdot 3+8\cdot 2+z)/6=5.5,$よって$z=5$となる．データを小さい順に並べると
$4,4,4,5,8,8$
となるから中央値は$\frac{4+5}{2}=4.5$

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