幾何分布

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成功確率$p$のベルヌーイ試行を,初めて成功するまで繰り返したときの試行回数$X$の確率分布を幾何分布(Geometric distribution)といい,$\mbox{Ge}(p)$と表す.

幾何分布の式表示は以下の通り.

 \( \displaystyle  P(X=k)=pq^{k-1} \)

等比級数の計算などから,幾何分布の期待値と分散は次のようになることが知られている.

 $ \displaystyle E(X)=\frac{1}{p},\ V(X)=\frac{q}{p^2}$

(例) ある選手のバスケットボールのフリースローの成功率は$0.8$であり,各試行において成功するか失敗するかは独立とする.初めてフリースローが成功するまでに試行する回数を$X$とおく.このとき,

(1) $P(X=3)$を求めよ. (2) $E(X), V(X)$を求めよ.

解 問題の設定から,$X$は成功確率$p$の幾何分布に従う.

(1) $\displaystyle  P(X=3)=0.2^2\times 0.8=0.032$ 

(2) $\displaystyle E(X)=\frac{1}{0.8}=1.25$

$\displaystyle V(X)=\frac{q}{p^2}=\frac{0.2}{0.8^2}=0.3125 $

(参考)記事21-25で扱った分布等以下のようにまとめることができる(正規分布は記事27で扱う).

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