よく使う仮説検定一覧(2標本)その1

A大学出身者，他大学出身者の成績の分布をそれぞれ
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle \mbox{N}(\mu_A, {\sigma_A}^2), \mbox{N}(\mu_B, {\sigma_B}^2)$
とする．A大学出身者の成績が良いか検証したいのだから，
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle H_0: \mu_A=\mu_B$，$H_1: \mu_A>\,u_B$
とすればよい．
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle X_{i}\sim\mbox{N}(\mu_A, {\sigma_A}^2),$
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle Y_{i}\sim \mbox{N}(\mu_B, {\sigma_B}^2)$
とすれば
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle \frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_A-\mu_B)}{\sqrt{\frac{{\sigma_A}^2}{5}+\frac{{\sigma_B}^2}{6}}}\sim \mbox{N}(0,1)$
である．帰無仮説$H_0$および${\sigma_A}^2={\sigma_B}^2$の仮定からプールされた分散$U^2$を用いて
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{{U}^2}{5}+\frac{{U}^2}{6}}}\sim t(5+6-2)=t(9)$
となる．棄却域は$t>t_{0.05}(9)=1.833$．プールされた分散の実現値は$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle u^2=\frac{(5-1)\cdot182.8+(6-1)\cdot 211.5 }{5+6-2}$
$\hspace{8.5mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} =198.7\cdots $
となるから，実現値は
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle \frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{{u}^2}{5}+\frac{{u}^2}{6}}}=\frac{54.4-41.7}{\sqrt{198.7(\frac15+\frac16)}}$
$\hspace{27mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle =1.48\cdots <1.833$
よって$H_0$は棄却されない．すなわちA大学出身者の学生が成績が良いとは言えない．

店舗A,Bのハンバーガーの重量の分布をそれぞれ$\mbox{N}(\mu_A, {\sigma_A}^2), \mbox{N}(\mu_B, {\sigma_B}^2)$,不偏分散をそれぞれ${U_A}^2, {U_B}^2$とおく．店舗Aの方が分散が大きいかどうか検証したいのだから，
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle H_0: {\sigma_A}^2={\sigma_B}^2$，$H_1:{\sigma_A}^2>{\sigma_B}^2$
とすればよい．$H_0$のもとで，
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle F=\frac{{U_A}^2/{\sigma_A}^2}{{U_B}^2/{\sigma_B}^2}=\frac{{U_A}^2}{{U_B}^2}\sim F(20,15)$
棄却域は$f>F_{0.05}(20, 15)=2.328$．実現値を計算すると
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle f=\frac{{u_A}^2}{{u_B}^2}=\frac{4.5}{2.5}=1.8<2.328$
となり，$H_0$は棄却されない．すなわち店舗Aのハンバーガーの重量がばらつきが大きいとは言えない．