各種統計量の本来の定義

$Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$は互いに独立で各$i$で$Z_i\sim\mbox{N}(0,1)$のとき,
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle X={Z_1}^2+{Z_2}^2+\cdots+{Z_n}^2$
で定義される確率変数$X$が従う分布を自由度$n$の$\chi^2$分布といい,$\chi^2(n)$と表す.

$Y,Z$は独立で$Y\sim{\chi}^2(n), Z\sim\mbox{N}(0,1)$のとき,
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle X=\frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$
で定義される確率変数$X$が従う分布を自由度$n$の$t$分布といい,$t(n)$と表す.

$Y,Z$は独立で$Y\sim\chi^2(m), Z\sim\chi^2(n)$のとき,
$\hspace{2mm}\rule[-1mm]{0mm}{7.5mm} \displaystyle X=\frac{Y/m}{Z/n}$
で定義される確率変数$X$が従う分布を自由度$(m,n)$の$F$分布といい,$F(m,n)$と表す.

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なぜ標本から作られた統計量は自由度が下がるのか

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